Três matemáticos apresentaram uma demonstração que resolve um problema antigo na matemática. Nem mesmo o matemático — ganhador do Prêmio Abel — que propôs o problema inicialmente acreditava que ele seria resolvido. A solução oferece insights sobre estruturas aleatórias de alta dimensão que podem impactar a ciência de dados, o aprendizado de máquina e a otimização.

Em 1995, Michel Talagrand propôs seu famoso problema matemático, que questiona se a convexidade pode ser "criada" em um número fixo e uniforme de etapas (usando operações chamadas somas de Minkowski) em qualquer número de dimensões. Em matemática, convexidade significa que uma forma ou função se curva para fora, garantindo que não existam lacunas ou reentrâncias internas. Assim, qualquer linha traçada a partir de dois pontos no perímetro ou no interior da forma deve estar inteiramente contida dentro da forma. Por exemplo, um círculo ou quadrado em duas dimensões, ou uma esfera ou cubo em três dimensões, seriam considerados convexos.

A conjectura da convexidade de Talagrand requer somas de Minkowski, que são operações matemáticas que combinam dois conjuntos de pontos ou formas geométricas, adicionando cada ponto do primeiro conjunto a cada ponto do segundo conjunto. Tudo isso se torna mais complexo à medida que o número de dimensões aumenta. Alguns se referem a esse problema como a "maldição da dimensionalidade", que faz com que tanto a complexidade geométrica quanto o tempo de computação das formas resultantes explodam exponencialmente.

O próprio Talagrand não acreditava que a conjectura da convexidade fosse solucionável e ofereceu US$ 2.000 a quem conseguisse apresentar a prova. Ele disse à Scientific American: "Fiz essa conjectura ousada sem qualquer fundamento, sabe? É apenas um palpite. Quando você diz algo assim, sente que não pode ser verdade."

Talagrand demonstrou originalmente, em seu artigo de 1995, que duas adições de Minkowski não são suficientes para garantir a criação de um grande subconjunto convexo. Em 2025, outro matemático provou que substituir a soma de Minkowski por operações convexas torna essa versão mais forte do problema da convexidade falsa. Mas isso ainda não resolveu a versão mais geral de Talagrand.

A nova demonstração foi elaborada por Dongming Hua e Antoine Song, do Instituto de Tecnologia da Califórnia, e Stefan Tudose, da Universidade de Princeton, que se juntaram aos demais autores após tomarem conhecimento do trabalho deles. Juntos, os matemáticos reformularam a conjectura geométrica de Talagrand para um problema de teoria da probabilidade e vetores aleatórios. Em seu artigo publicado no servidor de pré-impressões arXiv , eles provaram uma conjectura equivalente para probabilidade, mostrando que qualquer vetor aleatório 1-subgaussiano em n dimensões pode ser expresso como a soma de três vetores aleatórios gaussianos padrão.

Este resultado resolve o problema da convexidade de Talagrand, provando que, para qualquer conjunto suficientemente grande no espaço gaussiano, um conjunto convexo de medidas significativas pode ser encontrado dentro de uma soma tripla do conjunto original. A solução também confirma um análogo combinatório do problema, o que é importante para a matemática discreta.

Inicialmente, Song e Hua afirmam que tentaram encontrar uma solução com a ajuda do ChatGPT. No entanto, embora o LLM tenha ajudado a responder algumas de suas perguntas e aproximá-los de uma solução, foi Tudose quem forneceu a prova final. Por fim, a equipe não utilizou o trabalho realizado com o ChatGPT. Em seu artigo, a equipe escreve que a prova de Tudose era "mais geral e conceitual".

A solução para esse mistério matemático de décadas une geometria, probabilidade e combinatória, e fornece algumas conexões surpreendentes entre os mundos contínuo e discreto. Embora esse tipo de problema matemático possa parecer obscuro, muitas tecnologias presentes em nosso cotidiano dependem de ferramentas e algoritmos matemáticos complexos. A solução para a conjectura de Talagrand pode impactar a ciência de dados, o aprendizado de máquina e áreas como a otimização logística, onde modelos semelhantes envolvendo aleatoriedade complexa são comuns.